《殷墟甲骨文〈干攴數(shù)理表〉與“黃金分割率”考釋（二）——“數(shù)學(xué)天文學(xué)”的概念（三）》

三

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的黃金分割率1：0.618，是平面幾何學(xué)的定律，進(jìn)入中國公眾的視野，應(yīng)是二十世紀(jì)六、七十年代數(shù)學(xué)家華羅庚大力推廣優(yōu)選法0.618，它與現(xiàn)實的生產(chǎn)與科學(xué)實驗問題緊密相結(jié)合，節(jié)省人力物力財力，“縮短時間加速進(jìn)程”，成效顯著，可謂數(shù)學(xué)實用的一個典范。1971年出版了《優(yōu)選法評話及其補充》一書，解說明確、通俗、形象、實用，數(shù)學(xué)公式已經(jīng)中國化了，例如，用“橫”、“豎”的書寫筆法來講解算法，這種表述可以與中國古代數(shù)學(xué)天文學(xué)的算法進(jìn)行對接、交換，這可以作為一個專題來探討，意義非同尋常。

后來，人們接觸到的黃金分割率，多與藝術(shù)與審美相關(guān)。啟功先生將黃金分割率用于書法審美，分析今體楷書的字形結(jié)構(gòu)與橫、豎的筆畫，具有開創(chuàng)性的意義。總的看來，這個數(shù)學(xué)定律的應(yīng)用是非常廣泛的。

圖1

圖2

《優(yōu)選法評話及其補充》封面上印有黃金分割比例的公式（圖3），是指設(shè)定區(qū)域（0,1）的一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數(shù)，取其前三位數(shù)字的近似值是0.618。其公式是：W=(-1+√5)/2=0.618。【1】華羅庚《優(yōu)選法評話及其補充》，國防工業(yè)出版社，1971年版，第27頁）

圖3

圖4

黃金分割比例圖示中的這兩個數(shù)值0.618與1.618，可稱作互為倒數(shù)。算法是：

1/0.618=1.618122977346278

(1-0.618)/0.618=0.618122977346278

0.618與1.618均為近似值，又稱作“中外比”，這個比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，故而被稱為黃金分割率，通常用希臘字母Ф表示這個數(shù)值。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的這個“倒數(shù)(reciprocal/multiplicative inverse)”概念是完全抽象的，中國古法的“倒數(shù)”是指“倒版”，意思為凡是字形、“數(shù)形交合”均要上“書版”，“書版”則有“倒版”。甲骨上契刻著簡冊形制，也是“倒版”，“倒版”用“倒數(shù)”，即是特定運算對象的乘以0.9，這涉及運算“分?jǐn)?shù)位”，“分?jǐn)?shù)位”是現(xiàn)代數(shù)學(xué)所沒有的。

“書版”可以理解，但為什么要運算“書版”呢？這是原始先民的智慧。數(shù)學(xué)天文學(xué)的視運動的運算是極簡的平面幾何學(xué)，“化圓為方”要見方形之“書版”，核心是為了確切的運算年、月、日、時的確切數(shù)值，可以驗證，也可以世代傳續(xù)。簡單的說，二分之“分?jǐn)?shù)”是干支集合論的首務(wù)，所以單列一個“分?jǐn)?shù)位”。

怎樣證明倒版用倒數(shù)？殷墟“今”（）”（《合集》6834，賓組）字，從三合函數(shù)、從一，表示當(dāng)是時?！墩f文》釋“今”：“是時也。從亼從紲；紲，古文及?！倍巫ⅲ骸敖裾邔胖Q?！?/span>【2】〔清〕段玉裁《說文解字注》，上海古籍出版社，1981年影經(jīng)韻樓藏版，第223頁）這“”字的數(shù)理邏輯是，運算“三合（亼）”函數(shù)與“一”，就是“二分”字形，或者說“分?jǐn)?shù)”；“一”指是時也，而“三合（亼）”為古，即是“分?jǐn)?shù)位”，從“今”至“古”，都要見書版，反溯“古”就是倒版，而且殷墟“古”字本來就可以運算黃金分割率。“今”字的算法是一種數(shù)理邏輯的制度設(shè)計，也是根源有自?？梢酝葡?，從殷商甲骨文反溯到秭歸新石器時代的數(shù)學(xué)天文學(xué)，跨越3500年，沒有這種數(shù)理邏輯的這種制度設(shè)計，這門學(xué)科知識的形成與發(fā)展是根本無法想象的。也就是說：殷墟“今”字的制度設(shè)計，也就是“古”法，已有3000多年，再反溯千年萬年，還是“今”與“古”；這種制度設(shè)計是眾所周知的一種算法，簡便易行。東漢伏羲、女媧交尾的石刻造像的手持“規(guī)”形，其實也是“今”字中的“三合（亼）函數(shù)”。

這種視運動的開始只有這一種算法，就是將太陽運行、月亮運行、地球運行的復(fù)雜關(guān)系作最優(yōu)化的組合處理。請注意，這是將三個球體變成平面幾何學(xué)的圓形、方形，這種“數(shù)形交合”在哪里交合？只有在字形中與字形所在的“書版”上交合，這就在“三合（亼）”之中加上四方形的“一維”，成為視運動的“四正四維”。同時也是天地人“三維”再加書契、書版“一維”，這進(jìn)入視運動的宇宙論。  【3】錢寶琛主編《中國數(shù)學(xué)史》認(rèn)為：“古希臘，在很早的時候就采用球面三角法來解決天文學(xué)計算方面的問題。其后，印度和阿拉伯國家的數(shù)學(xué)家對球面三角法也作出了很大的貢獻(xiàn)。隋唐以后，印度天文學(xué)和數(shù)學(xué)開始傳來我國。《開元占經(jīng)》（公元718年）所載《九執(zhí)歷》中就曾介紹過印度的正弦表；但是并沒有引起中國數(shù)學(xué)家在的注意。宋初大科學(xué)家沈括，是我國第一個對弧、弦、矢之間關(guān)系加以考慮的數(shù)學(xué)家。他給出了中國數(shù)學(xué)史上第一個由弦和矢的長度來求弧長的近公式。這就是沈括的“會圓術(shù)”。科學(xué)出版社，1964年版，第209—210頁。按：這種古希臘“球面三角法”與中國遠(yuǎn)古的數(shù)學(xué)天文學(xué)的數(shù)形交合的算法則完全不同。中國《開元算經(jīng)》所載印度《九執(zhí)歷》的計數(shù)法，全是用小方格，而且是長方形，從一到九，再是一個“點”，說明文字有“其字皆一舉囗而成”（第113頁）。印度《九執(zhí)歷》這種囗形表達(dá)式，應(yīng)該是根源于殷商甲骨文《干攴數(shù)理表》中的60個小方格，當(dāng)然這是代數(shù)，但是在秭歸遺址《陶頂盤》中，小方格囗則是數(shù)字）所以，簡冊、楮木書版、甲骨版、玉版、石板、陶版皆涉及倒版運算；而記載著天文學(xué)的陶版、石版距今約有7000年。例如，秭歸遺址的《陶頂盤》上有8個“田”字，每一個“田”字均為8個小方格組成。從是時起，視運動的運算就有了一項減去“四”或加上“四”的算法，只是針對四方形的“書版”。有了四方的算法，就相當(dāng)于有了“橫”與“豎”的算法，華羅庚、啟功分析“橫”、“豎”中的黃金分割率，絕非偶然。

為什么優(yōu)選法認(rèn)為0.618：0.382為雙因素？優(yōu)選法就是優(yōu)化，降維是優(yōu)化的妙法；降維就是合并而化簡。比如說，“人”之?dāng)?shù)理是十月懷孕而生，“身”為十，出生以后有“體”，“體”為十二，“身體”數(shù)理二十二，這與“目”的數(shù)理相同，與干攴集合論的數(shù)理也是相同的，這些合并就是化簡降維，即是“可公度性”問題，也關(guān)涉到天文學(xué)的宇宙論。

墨子的名言“書于竹帛”，本意就是講這種倒版運算，從簡帛倒版至金石，從金石倒版至陶器的盤盂，均有銘文紀(jì)功。【4】孫詒讓《墨子閑詁·兼愛下》：“吾非與之并世同時，親聞其聲，見其色也；以其所書于竹帛，鏤于金石、琢于盤盂，傳遺后世子孫者知之?！肚厥摹吩唬何耐跞羧杖粼?，乍照光于四方、于西土”。孫詒讓注：此引《秦誓》篇“疑后人所改”。商務(wù)印書館，諸子集成本，1956年版，第75頁。按：說明一下，這種黃金分割率的運算四方，是一種數(shù)理邏輯的形式化，非常重要，不只是一種四方形或直角三角形，也深刻影響到字形、書契的審美內(nèi)部，如“人格”、“風(fēng)格”、“氣格”、“品格”、“格調(diào)”、“心靈”、“精神”、“氣息”等。我們常說今體的漢字為“方塊字”，其實就是在說“小方格”；格物致知之“格”，也是指這個“小方格”。不知“格”，就不知中華文化，這里暫不探討）所以，“數(shù)形交合”的小方格、方形，成為算法與數(shù)值的核心。其他的星象觀測也很重要，也要與日月地球的運轉(zhuǎn)相協(xié)調(diào)。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)優(yōu)選法的黃金分割率圖示，是數(shù)值1.618的，預(yù)設(shè)區(qū)間是“0,1”的線段，算法的起點實際上是運算（圖2），被稱為“瞎子爬山法”，原本是測算天頂法，其“東”的指向，實際上就是指向春分點。【5】《優(yōu)選法評話及其補充》第21—22頁）其本圖（圖3）就是我們熟知的黃金分割比例形象圖示，運算連續(xù)切分5次方形而形成一個長方形，是指序數(shù)第六塊的最為細(xì)小長方形，在螺旋線的正中心，數(shù)值1.618是先前多了一個運算倒數(shù)，即是1/0.618=1.618。這種抽象化的黃金分割率，理論解釋眾多，但沒有天文學(xué)視運動運算的意義。

提示一下，現(xiàn)代數(shù)學(xué)采用希臘文字母“Φ”作為它的符號，其實中國商周時期“中”字，可以運算黃金分割率，應(yīng)該是“Φ”的原型。【6】〔前蘇〕B.A.伊斯特林《文字的產(chǎn)生和發(fā)展》（左少興譯）有《拉丁文字母的起源和發(fā)展》圖現(xiàn)示源頭為《西希臘字母表》（北京大學(xué)出版社，1987年版，第270頁），其中“Φ”為第23個字母，第6個字母為“f”，中國古代新石器時代的“干攴集合論”的函數(shù)，一個是三合，一個也是“六”；《西希臘字母表》第24個字母為“X”，現(xiàn)代西方數(shù)學(xué)的函數(shù)表達(dá)式為y=f(x)，元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。中國古代“干攴集合論”函數(shù)可以運算出初始的黃金分割率0.618。而“干攴的數(shù)理有“六”與“五（X）”的交合，這種相似性就是探究“可公度性”的重要線索）而中國殷商的“中”字，主要是指視運動的推步法，螺旋線正中心表示地球北半球的亞洲區(qū)域之中心，最為關(guān)鍵的是它是移動的?！爸小弊质侨N形體，除了表示中心之外，還有東向行或西向行之“中”，因為東南西北四方的每一方都有24時辰與360度。這是中國古代數(shù)學(xué)天文學(xué)的一個特性，可以參照鄭州商城遺址的《杜嶺方鼎》側(cè)面腹部乳釘紋飾表達(dá)的天文學(xué)數(shù)值（圖4），在360度的四方的左右兩邊，還有4個24乳釘?shù)姆叫?。研究者?jīng)常解釋 “中”字為“中國”之“中”，蓋因不知殷人“中”字的推步法的造字之意?！爸小弊执_實與京畿、中心地區(qū)相關(guān)，但與“國”的意義之視角則有差異。

殷墟“旬”字是視運動推步法的路線圖（圖2），算法是連續(xù)五次除以2，是切分小方格的對角線，與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的算法可以通約，但曲線的意義則不同：一是分?jǐn)?shù)對象為天文學(xué)的干攴集合論三合（亼）函數(shù)，二是牽連周天360度基數(shù)，三是運算360度基數(shù)的外插法與內(nèi)插法。

“旬”字二種形體所指示的春分點太陽年、冬至點回歸年（圖2），0.618在其開口處切線頂端的短線，也有一個極小的直式長方形，在螺旋線中心處，因為字形的限制而無法直接表示，直接表示者是書版之“丁”（圖2，《殷墟文字甲編》630）。

中國天文學(xué)的太陽年、回歸年，為什么與西方天文學(xué)不同？因為天體視運動中，有周日視運動的24時辰參入運算。這種坐標(biāo)體系就相當(dāng)于現(xiàn)代鐘表有固定的表盤與移動的表針。數(shù)學(xué)天文學(xué)的算法，就是把這表盤的刻度、數(shù)值、算法與表針的轉(zhuǎn)動確定下來，歷法則是因地制宜的對時間，既是驗證又是應(yīng)用。【7】〔英〕李約瑟《文明的滴定》認(rèn)為，中國人“成功的制造出了最古老的機械鐘，其中包括發(fā)明一種擒縱機構(gòu)，即用機械方法減慢一組輪子的轉(zhuǎn)速，以便與人類的基本時鐘周日視運動保持同步”。（第11頁）按：此處同時認(rèn)為“中國數(shù)學(xué)的思想和做法永遠(yuǎn)是代數(shù)式，而不是幾何式的”，這與高度評價中國古代的手工文明是不相一致的，石器、陶器、玉器、骨器、竹木器、青銅器等，沒有幾何學(xué)知識是無法完成的，這種幾何學(xué)是早于歐幾里得《幾何原本》的，當(dāng)然這種百工的專門知識很少能見到原初的資料。其實，圭表本身就是測算周日視運動的時鐘。這需要重新考釋秭歸遺址中的近千個“陶支座”的平面幾何學(xué)。

周日視運動的24時辰，是人類生物鐘概念，所以至今被全世界認(rèn)可，這是科學(xué)的“可公度性”的典范。西方天文學(xué)從古希臘起就另外假設(shè)一個天球，例如柏拉圖宇宙論中的天球模式【8】〔美〕戴維·林德伯格《西方科學(xué)的起源》張卜天譯，商務(wù)印書館，2019年版，第58—59頁）成為地球中心的代表，再設(shè)定一種恒星年，比照運算回歸年或太陽年，這與中國古代的日月地球的運轉(zhuǎn)完全是兩碼事。

西方天文學(xué)的根基中既沒有天地人的三個大“一”形成平面幾何學(xué)的“三合函數(shù)”，更沒有四方形的書版“丁”參入運算的四正四維；天文學(xué)中的“化圓為方”不可思議，更不可思議的是，運算使用數(shù)形交合的小方格，這是初始的組合數(shù)學(xué)【9】陳美東《中國科學(xué)技術(shù)史·天文學(xué)卷》在“先秦時期的數(shù)學(xué)知識”一章中專門提到“不乏組合數(shù)學(xué)的思想”，重點是依據(jù)是《周易》八卦。科學(xué)出版社，2003年版，第46—47頁。按：數(shù)學(xué)天文學(xué)的起源與易八卦相關(guān)，這在秭歸遺址的《陶頂盤》中是八個方格之“田”字，擬將另文探討）既有離散性，又有連續(xù)性。

圖4

從《杜嶺方鼎》（二號）的數(shù)學(xué)天文學(xué)的范式（圖4）可知，四個“24乳釘”在360度（4個90度）的大四方形之外，數(shù)理“24”中有“二十二”為干支的數(shù)理，余“二”為表示“四方”，所以二十四節(jié)氣的算法中就存在“二”度的伸縮彈性。古法幾何學(xué)中“圓”本為“圜”，其實是兩個圓形，一是均勻運轉(zhuǎn)的360度，一是非均勻運轉(zhuǎn)內(nèi)插法與外插法，這是無形的“圓”，即函數(shù)運算的“圓”。

《周髀算經(jīng)》趙爽（約182---約250年）注認(rèn)為：“天體方則度以正，形圓則審難實。蓋方者有常，圓者多變，故當(dāng)制法理之?！?/span>【10】陳遵媯《中國天文學(xué)史》，上海人民出版社，2006年版，第52頁）這是關(guān)于數(shù)學(xué)天文學(xué)的方圓關(guān)系的最為精辟見解，核心在“圓者多變”而“方者有?！?，這等同于說，天文學(xué)中的圓周360度是用正方360度之“法定的”,這個方圓問題實質(zhì)是“數(shù)形交合”,是歐幾里得《幾何原本》之前的幾何學(xué)，亦即是天文學(xué)視運動的幾何學(xué)，這是值得認(rèn)真探究的問題，另文探討。其實道理非常簡單，田里的莊稼如果沒有24時辰的連續(xù)生長，二十四節(jié)氣也沒用。中國的天文學(xué)，必須“化圓為方”。

四

殷商《干攴數(shù)理表》可以運算兩種黃金分割率，一隱一顯；“顯”是運算第60格“癸亥·10:12”，數(shù)理二十二，“隱”是運算殷墟《干攴數(shù)理表》“甲”字之前的“上甲”，數(shù)理十一，是天干十與地攴十二交合運轉(zhuǎn)的中介，實際上就是運算《干攴數(shù)理表》中的“勾股定理”。

圖5

殷商表示人名“上甲”的字形，有三種形體“”（《殷墟文字甲編》632）、“”（《合集》27079，何組）、“”《合集》22682，出組）【11】劉釗《新甲骨文編》，福建人民出版社，2014年版，第655頁）（圖5）王國維考釋“”為人名“上甲”與“田”字的區(qū)別，要義在考訂殷商先王“上甲徽”，與父王亥、叔王恒一起成為“先王三世”，這是商史研究中的一個硬核問題，與《干攴表》的總體結(jié)構(gòu)相關(guān)。“”、“”二形則是“上甲”的佐證，而“上甲”是牽連王恒與《干攴表》的關(guān)鍵。【12】王國維《觀堂集林》中《殷卜辭所見先公先王考》、《殷卜辭所見先公先王續(xù)考》，河北教育出版社，2003年版，第259—286頁）。簡單的說，沒有“王恒”，殷商與早商、先商是斷裂的。

筆者補證，王亥、王恒、上甲徽的世系關(guān)系，與《干攴表》的序列直接相關(guān)。河南鄭州商城遺址的《杜嶺方鼎》是數(shù)學(xué)天文學(xué)的范式，這就是說商代在殷人之前就有完備的“干攴”數(shù)理模式，王恒之“恒”字兩種形體與“月相”有關(guān)，其數(shù)學(xué)天文學(xué)的意義則凸顯出來了。

“恒”位置在在《干攴表》之前，表示干攴集合論的“函數(shù)”，函數(shù)表達(dá)式是“恒”字在“弓弦”之中：【13】張光直《中國青銅時代》對于殷墟干支與商代王位繼承制度、王室親屬婚姻制度的關(guān)系，進(jìn)行了深入的研究，特別關(guān)注“王亥”“衛(wèi)恒”的史料，專門提到“卜辭里的恒字有的寫在一個大弓里面。不知衛(wèi)恒和殷人使用的弓有沒有傳說上的關(guān)系？與傳說中的羿有沒有關(guān)系？這些都是我很想知道而一直沒有答案的。除了文化發(fā)明繁榮功績以外，王亥、王亥兄弟在商人的王制史上是不是有關(guān)鍵性的轉(zhuǎn)捩點的意義？這也是我很想知道的”。三聯(lián)書店，1983年版，第195頁。按：筆者關(guān)于《干攴表》作為數(shù)學(xué)天文學(xué)的范式，及其與王亥、王恒、上甲徽的關(guān)系的考證，大致可以解答張光直先生的疑問，謹(jǐn)以告慰先賢之靈）“亥”字在《干攴表》之中，為第60格的最后一字：“上甲徽”即為“上甲”，牽連“恒”與《干攴表》第一字“甲（十）”與函數(shù)“恒”的關(guān)系，為的是運算勾股定理。【14】〔清〕江永《推步法解》：“周天三百六十，此周天整度也。古法用日度三百六十五度有奇，奇零度不便分析”，天干十地支十二相配而為六十，六其六十則為三百六十矣，“要在體數(shù)恒為三百六十”。叢書集成初編本，北京：商務(wù)印書館據(jù)守山閣叢書本，1985年版，第1—2頁。按：這是指三百六十度為基數(shù)。西漢易緯《乾鑿度》：孔子曰：歲三百六十日而天氣周，八卦用事各四十五日，方備歲焉。今學(xué)者認(rèn)為“孔子曰”為偽托，但“歲三百六十日”即是三百六十度，同時為“天氣”的一周歲，這涉及數(shù)學(xué)天文學(xué)的坐標(biāo)的核心數(shù)值。數(shù)學(xué)天文學(xué)的算法是360÷6＝60，即是6個《干攴表》。可見，江永《推步法解》此說是講中國的古法。

“上甲（）”表示在《干攴表》之前，即“”、“”之上部的“一”、“上”，又藏在《干攴表》之中，即在首字“甲”字之先，所以為“上甲”。殷墟“甲（）”字（《殷墟文字甲編》870）與《干攴表》第一字“甲”數(shù)理相同。注家有的釋為鎧札、甲札，孫詒讓《契文舉例》認(rèn)為：“甲”字皆作“十”，一之四。【15】李圃主編《古文字詁林》第十冊，上海教育出版社，2003年版，第932頁。這意思是“甲（十）”字為表使數(shù)，從“一”之“四”，即是指天干次序的甲、乙、丙、丁。《說文》釋“十”：“數(shù)之具也，一為東西，| 為南北，則四方中央備矣。”【16】《說文解字注》第88頁。這是講天文學(xué)的坐標(biāo)。孫說是借用《說文》釋“十”形的天文意義，來解釋“甲（十）”字，而“丁”是指書版“丁”，這種解釋是合理的。

“上甲（）”表示“甲（十）”數(shù)理十一，在囗之內(nèi)又在囗外，囗為360度，“甲（十）”即是東西方向的橫畫“一”、南北方向的直畫“丨（十）”。十一運算黃金分割比例的數(shù)值即是1°，囗即是360°，這是“上甲（）”的獨特性。

所以，“上甲（）”是運算數(shù)理十一：

A．11÷2÷2÷2÷2＝0.6875

B．0.6875×0.9＝0.61875

C．0.61875－0.00075＝0.618

這是運算“上甲”得出的數(shù)值，“上甲”在《干攴表》首字“甲”與《干攴表》之前首字“恒”之間。“甲”字之“十”形，數(shù)理十一，與“上甲”算法基本相同?，F(xiàn)在從《干攴表》的第一字“甲”繼續(xù)運算：

A．1÷0.618＝1.618

B.1.618÷0.618＝2.618

C．2.618＋0.382＝3

這三步運算極為重要，“三”既是牽連函數(shù)三合，同時又是進(jìn)入《干攴數(shù)理表》的序數(shù)三“丙寅·3:3”，可以運算序數(shù)三“丙寅·3:3”、序數(shù)四“丁卯·4:4”、序數(shù)五“戊辰·5:5”這三項構(gòu)成的勾股定律。

西方數(shù)學(xué)的勾股定理，又被稱為畢達(dá)哥拉斯定律（Pythagorean Theorem），屬于幾何學(xué)的一個基本定理，是指一個直角三角形的兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方。畢達(dá)哥拉斯（ 約公元前580年—約公元前490年）的生卒，則成為勾股定理誕生的時間節(jié)點。中國古代《周髀算經(jīng)》稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一較長的直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理。【17】程貞一、聞人軍《周稗算經(jīng)譯注》“前言”對于國內(nèi)外的研究進(jìn)展與重要成果作了簡要的介紹。上海古籍出版社，2012年版，第1—15頁）但它的原型與算法在殷商甲骨文。不同的是，中國勾、股、弦皆有數(shù)值，即是勾9，股14，弦25，同時是長方形（），實為兩個勾股形，更為重要的是，它是天文學(xué)的化圓為方，而直角三角形之“度”是它的切分對角線，這就確定了天文運算是用小方格的模式，或者說小方格的運轉(zhuǎn)。它是考古出土的原型，還早于畢達(dá)哥拉斯800年。

勾股定理之斜邊“弦”，何以得名？這與殷墟中“恒”字在“弦”之中表示函數(shù)有關(guān)，“恒”字二形表示天文之月相。殷人的造字之意，邏輯非常周密。

   圖6                圖7

殷商“恒”字的三種形體（圖6），“”（《鐵云藏龜》199.3）、（《集合》14768，賓組）、 “”（《殷墟書契前編》7.11.2），前二形表示月亮在天地間恒久的運行，后形是弓弦之中有“”，表示反溯運算到漁獵時代，即是運算《干攴數(shù)理表》的干攴集合論之函數(shù)?！墩f文》釋“恒”：常也。從心從舟，在二之間上下。心以舟施，恆也。古文“恆”，從月。《詩》曰，如月之恆。段注：常當(dāng)作長。古長久字只作長。“心以舟施”，謂往復(fù)遙遠(yuǎn)、而心以舟運旋，歷久不變。“宙”下曰，舟車所極復(fù)也”。【18】《說文解字注》，第681頁。這已是漢代的理念，涉及舟車的交通往復(fù)，區(qū)域廣度在地球之南北極，也有反溯古法的意思，即是指遠(yuǎn)古的視運動的推步法，舟車代步也算是推步法中的一種輔助方式。

殷墟“函”字的兩種形體（《合集》37545，黃組）、（《合集》28068，無名組）（圖7），均表示箭矢在箭袋中，這是函數(shù)的一種表達(dá)式，意思是拿出箭矢可以上弦放射而射取獵物，于物則為減數(shù)，于己則為加數(shù)，可以進(jìn)行初始的加減乘除四則運算，涉及分?jǐn)?shù)位、個數(shù)位、十?dāng)?shù)位、萬數(shù)位的運算。

還有“射中一日”之字“”（《合集》13934正，賓組），與后羿射日神話相關(guān)，這是運算十日，即十個太陽，相當(dāng)于天干十，而這個帶一點的“日”形正在拉弦射箭之處，或者說在“弦線”的中部，這不能說與“勾、股、弦”的算法毫無關(guān)系；“弦”中有函數(shù)“恒”，弦線上有射中一日之形，日中還有小數(shù)點，“弦”還是勾股定理之“弦”，是勾平方、股平方之合，恐怕不能說這是一種巧合。

殷墟“辰”（，《合集》25747，出組）字，象人之二手持圭表測算天象之形。【19】《說文解字注》釋“辰”：民農(nóng)時間也。物皆生，從乙、匕，象芒達(dá)；廠，聲也。辰，房星，天時也。從二，二，古文上字。今學(xué)人解釋諸多，董其昌《矢彝考釋》認(rèn)為“從二”為人形二手之省形，三合之形為星宿三星，近似本義。李圃主編《古文字詁林》第十冊，上海教育出版社，2004年版，第1124頁）象形字的造字之意，來源可能是多種，這三合之形，可能是茅屋，也可能是房星等，也可能是用圭表，這些意義可以關(guān)聯(lián)，本來“形”就存在一定的多義性。。

《周髀》原文“既方其外，半之一矩”這一句非常關(guān)鍵，“既方其外”是說圓形之外的方形：“半之一矩”是說切分長方形的對角線，而“矩”則是使用戰(zhàn)國中后期的術(shù)語“規(guī)矩”之“矩”。但是，在殷商《干攴數(shù)理表》、中的序數(shù)四“卯丁”之“丁”皆為正四邊形的小方格“”，共計六個小方格“”，合起來即為長方形。“半之一矩”是指切法對角線，成為兩個直角三角形的“度”，即是黃金分割率。這表示視運動之運算360基數(shù)可以有兩個內(nèi)插法，這即是“旬”字。

圖8

    趙爽（約公元182年－250年）注：“句股之法：先知二數(shù)，然后推一見句股，然后求弦。先各自乘成其實，實成勢化，外乃變通。故曰：既方其外，或并句股之實，以求弦，實之中乃求句股之分。并實不正等，更相取與，互有所得，故曰半其一矩。其術(shù)：句股各自乘三三如九，四四一十六，并為弦，自乘之實二十五，減句于弦為股之實一十六，減股于弦，為句之實九?！?/span>【20】陳遵嬀《中國天文學(xué)》，上海人民出版社，2016年版，第80頁）趙注的算法是：“丙寅·3:3”自乘為9，“丁卯·4:4”自乘為16，“戊辰·5:5”自乘為25，合計9＋16＝25，即是a2 + b2 = c2。（圖8）

可見，趙爽此說非常準(zhǔn)確，核心是算法：“句股之法，先知二數(shù)，然后推一見句股，然后求弦”。我們根本不會想到這個“數(shù)”概念，殷商有表示“數(shù)”概念本身的字形“殳”字、“攴”字，漢代隸書中皆見于隸定為“數(shù)”字。【21】錢寶琛《中國數(shù)學(xué)史》關(guān)于漢代《九章算術(shù)》的研究，有一個觀點是“中國數(shù)學(xué)家在方程章里，提出了正負(fù)數(shù)的不同表示法和正負(fù)數(shù)的加減法則。這在數(shù)學(xué)史上是一個無比偉大的成就。”科學(xué)出版社，1964年版，第55頁。按：這種看法是正確的，不過這是指中國古代數(shù)學(xué)天文學(xué)分化為天文學(xué)與數(shù)學(xué)兩個獨立學(xué)科以后的數(shù)學(xué)（算學(xué)）。中國的古法沒有“負(fù)數(shù)”概念，而是單列“分?jǐn)?shù)位”這個數(shù)位）二形數(shù)理二十二，可以運算出黃金分割比例，這就是先知二數(shù)0.618，0.382。

順便說一下，殷商沒有“股”字，“殳”字為“股”的本形。然后“推一見勾股（書版之?。?/span>”，即是0.618＋0.382＝1；然后“求弦”，即是求直角三角形弦線上的一個黃金分割點，這是唯一，勾股定理與黃金分割率合體，確實是“唯一”。天文學(xué)中的算法，是墨子的“一中同長”與“等高法”，擬另文探討。

圖9                      圖10

李儼《中國算學(xué)史》認(rèn)為，趙爽《句股方圓圖注》是以《弦圖》證明勾股定理，“施以朱、青、黃諸色”（圖9），【22】李儼《中國算學(xué)史》，商務(wù)印書館，1936年版，第16頁）這是合理的。從南宋本的《弦圖》（圖10）看，趙爽注釋所言，大面為正四方形，“中黃”為中心的小方格“黃實一”；“朱實六”指直角三角形，“弦實二十五”指四個書版之“丁”。這些數(shù)字比較混亂、圖形也不準(zhǔn)確，錢寶琛《中國數(shù)學(xué)史》認(rèn)為，這個圖與解釋文字均“與趙爽原義不能符合”，【23】《中國數(shù)學(xué)史》第57頁）這是正確的。不過，《弦圖》雖然不夠標(biāo)準(zhǔn)，但在一定程度上反映出漢人關(guān)于勾股定理的思路與算法。

筆者以為，對照殷墟《干攴數(shù)理表》的數(shù)理，“戊辰”應(yīng)為二五，南宋本的圖示是朱實十二格，這不合趙爽的本意；李儼解釋的“弦圖”為5個方形具有合理的性，“中黃”為中心的小方格“黃實一”，四個長方形應(yīng)該是殷墟之“丁”字之變異，可以將4個朱實的長寬比值調(diào)整到0.618:0.382；另用一個大面，即是大方形，也屬于“黃”，所以大面的四方形減去四朱實的長方形，余下的小方格即為“黃實一”，這表明《干攴表》的運算60序數(shù)全是運算小方格。當(dāng)然，這種勾股定理的算法，是與天文學(xué)相分離的一種表現(xiàn)。

總之，“上甲（）”算法的核心，數(shù)為360°與1°，1°中有24時辰與黃金分割比例0.618:0.382，形為“（甲）十”，是天文學(xué)視運動的坐標(biāo)構(gòu)架，劃分東西南北、春夏秋冬，這“（甲）十”形與大方形360度是互證的。所以，“上甲（）”還有另一形“上甲（）”，此形為圓周，與“甲（十）”字的一橫一直相合。黃金分割率是數(shù)形交合為書版丁，一橫一直則為天文學(xué)視運動的坐標(biāo)構(gòu)架，確立東西南北。

“上甲（）”為圓周，與“上甲（）”之方形互證，圓周360度的中間也是一橫一直之“甲（十）”。西周晚期《兮甲盤》銘文“甲”（《集成》10174）字，已成為圓形〇與數(shù)“十”，直接表示十日，不同于殷商“甲（十）”字的數(shù)十一，但可以運算《干支表》，這說明天文學(xué)視運動中的數(shù)形交合的非常特殊的方圓關(guān)系。

王羲之真草二體《小學(xué)篇》是南朝梁代集字《千字文》的原本。【24】張?zhí)旃?/span>《王羲之〈小學(xué)篇〉與〈千字文〉考》，載于《書法》2020年第2期）《千字文》開篇是“天地玄黃”四字，是講蒙學(xué)的天文學(xué)知識，這個“玄黃”是與《周髀》及其趙爽《句股方圓圖注》是直接相關(guān)的，也是講黃金分割率，用以字形、筆勢則為“直（豎）”與“橫”，這是講天文地理、古今傳續(xù)，與真草二體對應(yīng)?！墩f文》釋“體”為“總十二屬也”，真草二體之?dāng)?shù)理二十四，正是24時辰牽連二十四節(jié)氣。王羲之真草《小學(xué)篇》，開篇就講“天地玄黃”，即是講黃金分割率。（待續(xù)）

2022年1月22日于武昌