《西安半坡遺址陶器、元君廟遺址陶器之“紋點(diǎn)三角形”考釋——“數(shù)學(xué)天文學(xué)”的“視運(yùn)動(dòng)”概念（五）》

張?zhí)旃?/span>

原始人類怎樣記數(shù)？何時(shí)開始記數(shù)？何時(shí)開始計(jì)算數(shù)？記數(shù)、計(jì)算數(shù)之前還有圖形，包括幾何圖形，數(shù)與形的關(guān)系如何？這是探究人類文明起源的一個(gè)重要課題。【1】〔法〕列維—布留爾《原始思維》第四章、第五章從原始人的思維與他們的語(yǔ)言的關(guān)系，依據(jù)收集的大量的原始材料對(duì)原始民族語(yǔ)言的記數(shù)、計(jì)數(shù)法進(jìn)行了深入研究，有一定的參考意義。該書把不屬于“地中海文明”民族的“原始人”的思維方式稱作“原始思維”，中國(guó)遠(yuǎn)古的思維方式也被界定在“原始思維”之中，這是“歐洲中心論”的歷史觀，不符合歷史真實(shí)。（丁由譯，商務(wù)印書館，1981年版，第131—218頁(yè)）本文所探討的這個(gè)“紋點(diǎn)三角形”所表達(dá)的數(shù)學(xué)天文學(xué)的算法與數(shù)值，可以與“地中海文明”舉行比較研究，至少可以說明人類的科學(xué)思維的起源是多元的，或者說是一體多的。

華夏先民的數(shù)學(xué)思維，一開始就是天文學(xué)的運(yùn)算與數(shù)值，這是稱名為“數(shù)學(xué)天文學(xué)”的主因。其獨(dú)特個(gè)性就是“數(shù)形交合”的干支集合論函數(shù)，這是歐幾里得《幾何原本》之前的天文學(xué)的平面幾何學(xué)。這里探討的是陜西仰韶文化陶器（約公元前4800年公元前2000年）上的“紋點(diǎn)三角形”（圖1），就是這種天文學(xué)視運(yùn)動(dòng)的“數(shù)形交合”的一種樣本。

圖1

圖2                                                      圖3

圖1左圖為西安半坡出土的陶器殘片,上面有“紋點(diǎn)三角形”(圖2）。今研究者認(rèn)為，這屬于“原始計(jì)數(shù)方法”中的“數(shù)與形的關(guān)系”，是原始人類與自然接觸的實(shí)踐中獲得的“關(guān)于數(shù)與形及其關(guān)系的認(rèn)識(shí)”，表示“一個(gè)頂點(diǎn)在下、每邊8個(gè)孔的等邊三角形，八排平行的孔，每一排比上一排少一個(gè)，這確實(shí)是數(shù)與形的完美結(jié)合”；右圖是“屬于仰韶文化的陜西華縣元君廟墓地出土的陶器上也有類似的圖案，紋點(diǎn)數(shù)更多”（圖3），并進(jìn)一步推論，這種數(shù)形結(jié)合可能誘發(fā)兩種思維取向，一是實(shí)用化，一是神秘化。【2】郭書春《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史·數(shù)學(xué)卷》第一章第二節(jié)中的“原始計(jì)數(shù)方法”之第三項(xiàng)論述“數(shù)與形的關(guān)系”?？茖W(xué)出版社，2010年版，第11—12頁(yè)）這種分析的重點(diǎn)在“等邊三角形”，也是合理的，很可惜，沒有清點(diǎn)、計(jì)算“形”與“數(shù)”。原始人類的數(shù)學(xué)思維就在于實(shí)用，沒有數(shù)值與算法就等于無用。

一

從數(shù)學(xué)天文學(xué)看，這個(gè)西安半坡的紋點(diǎn)三角形（圖2）依據(jù)書契行款直行下行、橫列左行的形制，大致有三種主要算法，一則計(jì)“數(shù)”、一則計(jì)“形”、一則計(jì)“數(shù)形交合”，均與等腰三角形相關(guān)。算法是：

三角形第一行斜邊有紋點(diǎn)8個(gè)，依次遞減至一行一個(gè)紋點(diǎn)，紋點(diǎn)總數(shù)36個(gè)，36與24對(duì)應(yīng)，或者60＝36＋24，現(xiàn)作具體分析：

（1）8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36；36＋24＝60

（2）36為36個(gè)“旬”，或360度，或6個(gè)《干攴表》；（3）24為24時(shí)辰，牽連二十四節(jié)氣，即360度；

（4）360度或36旬，即是36X10＝360；360度即是平

均十二個(gè)月，每個(gè)月3旬。

這種算法，是運(yùn)算干攴集合論的三合函數(shù)，它關(guān)聯(lián)年、月、日、時(shí)。請(qǐng)注意，24在運(yùn)算的數(shù)值中，卻是未見其明數(shù)，可以稱作“隱數(shù)”。簡(jiǎn)單的說，見到數(shù)36，就會(huì)聯(lián)想數(shù)24。

這個(gè)36個(gè)紋點(diǎn)的三角形的排序，是始于一行8個(gè)點(diǎn)而終于一行1個(gè)點(diǎn)，總共8行而形成一個(gè)等邊三角形。這與“干攴集合論”的三合（亼）函數(shù)的算法相對(duì)應(yīng)，可以說是運(yùn)算“旬”字之黃金分割比例的初始。

（二）三角形中第1行為8個(gè)小三角形，后7行為28個(gè)小菱形，算法是：（1）8個(gè)三角形180度；（2）28個(gè)平行四邊形360度；（3）運(yùn)算這個(gè)紋點(diǎn)三角形中的數(shù)形交合：

a.28÷2＝56

b.56＋8＝64

c.64＝60

其64中的4，相當(dāng)于運(yùn)算四方，每一方可以是二十四。

（三）這種算法還是依據(jù)36個(gè)旬（周天360度基數(shù)）、與周日24度基數(shù)相牽連。24度牽可以連年、月、日、時(shí)。請(qǐng)注意，運(yùn)算角度（刻度）依據(jù)“形”，運(yùn)算角線依據(jù)“數(shù)”，二者在等邊三角形、平行四邊形中不是等值的，這涉及天文學(xué)運(yùn)算中的“方圓關(guān)系”的問題，或者說“干攴集合論”的“三合（亼）”函數(shù)的問題。第一行8個(gè)三角形（180度），不同于后7行平行四邊形（360度），這是一條很重要的原則。

（四）28個(gè)平行四邊形（360度），一則可以表示外插法，即是28＝24＋4；一則可以表示內(nèi)插法，即是28＋32＝60。這個(gè)28個(gè)360度非常關(guān)鍵，它是運(yùn)算“二十八星宿”的數(shù)理，減去四方、四象即為24。這要專門探討。

（五）這個(gè)紋點(diǎn)三角形（圖3）的簡(jiǎn)化算法，就是把“紋點(diǎn)”皆連接成“線”，或者說等邊三角形之“線”，總計(jì)此等邊三角形加上一個(gè)大等邊三角形：

（1）13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝49

（2）49＋1＝50

這種算法與數(shù)值，是以運(yùn)算十為基數(shù)，可以進(jìn)行更高層級(jí)的抽象化。【3】馮時(shí)《中國(guó)天文考古學(xué)》“早期北斗遺跡”專題中論述安徽潛山薛家崗出土七件石刀（公元前3360—公元前2920年，至公元前3264年—公元前2784年），石刀上有圓形鉆孔，依次相加為1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49，認(rèn)為“從1至13共分七級(jí)，均為奇數(shù)”；“49恰好也是7的倍數(shù)！古代的方士禳星祭斗，正是采用這個(gè)數(shù)字”。中國(guó)社會(huì)科學(xué)出版社，2017年版，第139頁(yè)。按：古代數(shù)學(xué)天文學(xué)中的“數(shù)形交合”適應(yīng)天文學(xué)運(yùn)算的需要，與后來的單純而抽象的幾何學(xué)有差異，表現(xiàn)為數(shù)與形的復(fù)雜關(guān)系，同為數(shù)49，一則為組件，一則為等邊三角形之和數(shù)，但均有天文學(xué)數(shù)值的意義。

總之，西安半坡這個(gè)紋點(diǎn)三角形的數(shù)理比較豐富，核心數(shù)值是：（1）36：24；（2）28個(gè)360度與8個(gè)180度；（3）64個(gè)180度，即是64＝60＋4，4即是運(yùn)算四方、四方風(fēng)。這與數(shù)學(xué)天文學(xué)視運(yùn)動(dòng)的數(shù)值與算法相關(guān)。這塊陶片殘缺嚴(yán)重，無法探知原形紋飾的全貌。

二

   陜西華縣元君廟墓地出土的陶器上的紋點(diǎn)三角形（圖1右），第一行為縱向斜邊的10個(gè)小紋點(diǎn)，行點(diǎn)依次遞減。止于第十行一個(gè)紋點(diǎn)（圖4），總計(jì)這個(gè)三角形的紋點(diǎn)55個(gè)。

圖5                                              圖6

算法是：

（一）運(yùn)算紋點(diǎn)三角形中的點(diǎn)：

（1）10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55

（2）55÷2÷2÷2＝6.875

（3）6.875X0.9＝6.1875

（4）10＝6.18＋3.82

10＝6.18＋3.82的這種算法，是運(yùn)算“旬”字的平均十日；1＝0.618＋0.382的這種算法，是運(yùn)算“旬”字的平均一日，二者數(shù)理相通。這是非常重要的兩種黃金分割比列的表達(dá)式，而10＝6.18＋3.82這種表達(dá)式更實(shí)用。

郭沫若《釋支干》認(rèn)為殷墟《支干表》有“三旬式”和“六旬式”兩種，如果從“干攴集合論”看，分?jǐn)?shù)運(yùn)算二十二即為六旬式，分?jǐn)?shù)運(yùn)算十一即為三旬式。運(yùn)算十一可與運(yùn)算55交換。所以，這三種算法均可以運(yùn)算黃金分割率。

（二）運(yùn)算紋點(diǎn)三角形中的形：

（1）第一斜直行10個(gè)等邊三角形，即是10個(gè)180度。

（2）第二行至第十行為菱形，依次是始于9個(gè)，止于1個(gè)，總計(jì)45個(gè)360度，即是9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45

圖7

（3）360度可以為1°，45個(gè)360度則為45°，從天文學(xué)視運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)體系看，殷商“癸”字三種形體（《鐵云藏龜》112.3：《殷墟佚存:545）右上端表示春分點(diǎn)、對(duì)應(yīng)秋分點(diǎn)，左上端表示冬至點(diǎn)、對(duì)應(yīng)夏至點(diǎn)。前一形無出頭短線，表示運(yùn)算360度；后一形有出頭短線，表示運(yùn)用黃金分割率來運(yùn)算基數(shù)360度之外插法。最右形為晚商《癸?卣》銘文“癸”字（圖7），是南北極之中軸線，這表示周天視運(yùn)動(dòng)的基本坐標(biāo)，是為靜。甲骨文“癸”字二形則表示運(yùn)轉(zhuǎn)，是為動(dòng)。

（4）此第一斜直行的10個(gè)三角形180度，有別于后面的菱形360度，二者可以交換運(yùn)算：一則運(yùn)算360度，數(shù)值為50（45＋5）個(gè)360度，二則運(yùn)算180度，數(shù)值為120（110＋10）個(gè)180度。

（5）此元君廟遺址的陶器50（45＋5）個(gè)平行四邊形360度，與西安半坡陶片50個(gè)等腰三角形180度，這兩種數(shù)值、兩種算法具有什么關(guān)系？可以繼續(xù)探究。

（三）簡(jiǎn)化算法（圖6）是把“紋點(diǎn)”皆連接成等邊三角形的“線”，始于第一行17個(gè)等邊三角形，第二行15個(gè)，終于一個(gè)，總計(jì)81個(gè)等邊三角形。據(jù)此圖形算法是：

（1）17＋15＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋2＋1＝81

這種數(shù)81的算法是一個(gè)大等邊三角形中一行一行的小等邊三角形的相加，很容易聯(lián)想起“九九”之?dāng)?shù)。李儼《中國(guó)算學(xué)史》在“上古時(shí)期”中有專論“九九”一項(xiàng)，主要依據(jù)傳統(tǒng)文獻(xiàn)，分析“乘法小九九”。【4】上海書店，1936年版，第5—6頁(yè)）這是戰(zhàn)國(guó)后期數(shù)學(xué)學(xué)科企望獨(dú)立發(fā)展的一種表現(xiàn)，根源就是《干攴數(shù)理表》。

總之，陜西元君廟陶盆上的紋點(diǎn)三角形，核心數(shù)值是：（1）紋點(diǎn)數(shù)值55，可以運(yùn)算黃金分割比例6.18:3.28；（2）紋點(diǎn)成形則為81個(gè)等邊三角形180度，牽連干攴集合論三合函數(shù)；（3）紋點(diǎn)55的等邊三角形排序是一行對(duì)九行，于是出現(xiàn)“九九”之?dāng)?shù)，成為中國(guó)古代數(shù)學(xué)的一個(gè)分界點(diǎn)。

（4）從這完整的陶盆的側(cè)面影像看，這種紋點(diǎn)三角形涉及8個(gè)，如果陶盆整體設(shè)計(jì)是對(duì)稱或均衡結(jié)構(gòu)，那么這紋點(diǎn)三角形應(yīng)該有16個(gè)，而可以形成8組，這就與天文學(xué)視運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)體系基本相合。

三

中國(guó)古代數(shù)學(xué)史的研究，將專門學(xué)科或形成體系的數(shù)學(xué)界定在東漢《九章算術(shù)》（約公元一世紀(jì)）以后，這與中國(guó)古代天文學(xué)體系也成于漢代的判斷是一致的，其共通點(diǎn)就是不知中國(guó)古代數(shù)學(xué)天文學(xué)。這個(gè)數(shù)學(xué)天文學(xué)不是萌芽，而是早熟體系。陜西仰韶文化遺址這兩種紋點(diǎn)三角形的數(shù)值與算法，就是數(shù)學(xué)天文學(xué)視運(yùn)動(dòng)的一種特殊樣本，其特殊性就在于等邊三角形，是數(shù)形交合，可以與戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的楚國(guó)數(shù)學(xué)天文學(xué)相關(guān)聯(lián)，尤其是與楚簡(jiǎn)《算表》的對(duì)應(yīng)，這是一個(gè)值得關(guān)注的新課題。

西安半坡陶片的紋點(diǎn)三角形是第一行與后七行的關(guān)系，核心數(shù)值在紋點(diǎn)36個(gè)，華縣元君廟陶盆的紋點(diǎn)三角形第一行與后九行的關(guān)系，核心數(shù)值是紋點(diǎn)55個(gè)與三角形81個(gè)，于是出現(xiàn)了運(yùn)算黃金分割比例與九九之?dāng)?shù)，其根源在殷商《干攴表》。

《干攴數(shù)理表》第一個(gè)小方格“甲子·1:1”，依次到第九個(gè)小方格“壬申·9:9”，全部切分為二，即成為兩組“1—9”，再反溯運(yùn)算其積數(shù)，就是九九八十一、九八七十二等。簡(jiǎn)單地說，切分“干攴交合”中的“甲子·1:1”至“壬申·9:9”，這是分?jǐn)?shù)，再反溯運(yùn)算則是用乘數(shù)，不同的是“乘法小九九”是純粹數(shù)學(xué)，完全從天文學(xué)中獨(dú)立出來了。它應(yīng)該早于“乘法大九九”。

西漢《周髀算經(jīng)》記載：

　昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問數(shù)安從出？”商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也。”

關(guān)于商高答話的研究比較充分，基本認(rèn)可“矩出于九九八十一”是指“乘法小九九”【5】程貞一、聞人軍《周髀算經(jīng)譯注》解釋：此“九九八十一”是指“乘法運(yùn)算”。上海古籍出版社，2012年版，第41頁(yè)）筆者認(rèn)為，我們不知秭歸遺址的數(shù)學(xué)天文學(xué)，就無法理解“包犧立周天歷度”與“伏羲執(zhí)矩”，不曉此“矩”為何物。此處已見兩種“紋點(diǎn)三角形”，數(shù)值差異很大，這就是說“數(shù)形交合”的關(guān)系相當(dāng)復(fù)雜，現(xiàn)代的“數(shù)論”、“幾何學(xué)”是我們探究這種“數(shù)形交合”的一種非常重要的參照，但核心還是要尊重歷史的真實(shí)。

這個(gè)“九九八十一”的乘法，一定晚于墨子（公元前476或480年—公元前390或420年），理由至少有三條，一是墨子關(guān)于《干攴數(shù)理表》的公理化，就是把《干攴表》的代數(shù)轉(zhuǎn)換為純粹數(shù)字，沒有這種數(shù)字公理化，則無大九九或小九九，二是運(yùn)算《干攴數(shù)理表》的關(guān)鍵在黃金分割率，墨子非常清楚，《墨經(jīng)》中即是使用黃金分割率來證明宇宙統(tǒng)一性。三是墨子的數(shù)理邏輯的證明，對(duì)待“函數(shù)”采用“隱數(shù)”方式，也就是說僅用其實(shí)、其數(shù)而不見其字。這樣一來，“函數(shù)”表達(dá)式離開特定語(yǔ)境則看不懂。

有力證據(jù)是清華楚簡(jiǎn)《算表》（約公元前305年），實(shí)際上是《干攴數(shù)理表》第一格“甲子”至第九格“壬申”切分為兩個(gè)系列“1—9”，再將其中的一個(gè)“1—9”前移至“十?dāng)?shù)位”，則變成“10—90”，最終反溯（倒版）運(yùn)算乘法的大九九與小九九，尤其是還保留運(yùn)算《干攴數(shù)理表》的黃金分割率，即是使用代數(shù)“”、“缽”。【6】楚簡(jiǎn)《算表》中“”字的右形為“勻”，表示用“二”分?jǐn)?shù)“十二”；左形“”從“”、“”；表示用“五（）”分?jǐn)?shù)“十（）”，十二與十之和為干支數(shù)理二十二，可以黃金分割率。“”之前還有一個(gè)代數(shù)“缽”字。張?zhí)旃?/span>初論殷商甲骨文中的“進(jìn)十位數(shù)制”——考釋“術(shù)”“殳”“攴”“恖”、〈干支表》與楚簡(jiǎn)〈算表數(shù)理表〉、羅素〈數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論數(shù)理表〉、〈書寫筆順圖〉之關(guān)系》，載于《書法研究》2021年第2期）今研究者認(rèn)為“”的意思是“1／2”，“缽”的意思是“1／4”，這種解釋雖然不知“”字表示黃金分割率，但認(rèn)為“”（1／2）”、“缽（1／4）”具有分?jǐn)?shù)的數(shù)值仍有合理性。

楚簡(jiǎn)《算表》為什么使用這兩個(gè)代數(shù)“（1／2）”、“缽（1／4）”（圖9）？想運(yùn)算什么“數(shù)”？《周髀算經(jīng)》所謂“九九八十一”提示我們，“商高”此言是依托，出于楚簡(jiǎn)《算表》之后。楚簡(jiǎn)《算表》就是乘法大九九與小九九，其根源是殷墟《干攴數(shù)理表》的一種倒版，最終還是要運(yùn)算天文學(xué)視運(yùn)動(dòng)。筆者制作楚簡(jiǎn)《算表數(shù)理表》（圖10），可知《二十八星宿》圖示最早見于《曾侯乙墓漆箱二十八星宿圖》，還有“衣箱”側(cè)面的《后羿逐日?qǐng)D》、《后羿弋射圖》相對(duì)應(yīng)，所以這種《二十八星宿》的算法是28＝24＋4，意思是運(yùn)算四方、四方風(fēng)，而每一方則是24時(shí)辰牽連二十四節(jié)氣。

圖9

圖10

回到楚簡(jiǎn)《算表數(shù)理表》，“（1／2）”是二個(gè)字形，分別在左下角“一”數(shù)的下邊與左邊，因?yàn)椤陡申窋?shù)理表》第一格“甲子”至第九格“壬申”的算法是“九九八十一”，所以“（1／2）”字實(shí)際上在《干攴數(shù)理表》第一個(gè)“甲子”之前。因?yàn)椤熬啪虐耸弧钡乃惴ǎ@個(gè)元君廟墓地陶盆的紋點(diǎn)三角形第一行10個(gè)等邊三角形，應(yīng)該在《干攴數(shù)理表》之前?！?/span>（1／2）”字運(yùn)算對(duì)象是這10個(gè)等邊三角形，數(shù)值是5（5個(gè)等邊三角形）。最左下角的代數(shù)“缽（（1／4）”應(yīng)該是繼續(xù)運(yùn)算“（1／2）”，但運(yùn)算對(duì)象是什么？應(yīng)該是運(yùn)算“甲子·1:1”之前的“上甲（上甲徽）”，即商代先王王亥、王恒兄弟之后繼。這就是屈原《天問》、《離騷》、《九歌》等篇提出的數(shù)學(xué)天文學(xué)的諸多問題【7】張?zhí)旃冻鹞摹⒊?jiǎn)“集”字考釋——簡(jiǎn)論集合論函數(shù)運(yùn)算黃金分割率》，載于《書法報(bào)》2021年8月18日）

戰(zhàn)國(guó)時(shí)期“甲（十）”字?jǐn)?shù)理“十”，其算法“缽（1／4）”的數(shù)值為0.25。所以，運(yùn)算代數(shù)“（1／2）”字、“缽（1／4）”字的數(shù)值為5.25度，加上周天360度基數(shù)，即為周天365.25度。請(qǐng)注意，這種算法必須的前提是“九九八十一”，不是用其乘法，原本81個(gè)紋點(diǎn)的等邊三角形是用加法，而且“九九”之?dāng)?shù)還要牽連“大一（第一行10）”。這可以說明西漢的《周髀算經(jīng)》的天文學(xué)視運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)與算法，與東漢數(shù)學(xué)天文學(xué)的周天365.25度相同。

這個(gè)周天365.25度是天文學(xué)史上的一個(gè)懸案，西源說與中源說都有證據(jù)與理由，難以定奪。陜西仰韶文化的陶器上的兩種“紋點(diǎn)三角形”，與楚簡(jiǎn)《算表數(shù)理表》對(duì)接，與《周髀算經(jīng)》牽連，可以解答這個(gè)歷史懸案，這是獨(dú)一無二的證明。否則，我們很難查清周天365.25度的來源與算法。

陜西仰韶文化這兩種“紋點(diǎn)三角形”，是數(shù)學(xué)天文學(xué)視運(yùn)動(dòng)的三角形的樣板，可與河南鄭州商城遺址的《杜嶺方鼎》的數(shù)學(xué)天文學(xué)視運(yùn)動(dòng)的四方形的范式相媲美，對(duì)于我們認(rèn)識(shí)古希臘歐幾里得《幾何原本》之前的幾何學(xué)提供了重要的考古出土的原始資料。

 2022年1月26日于武昌