《殷墟甲骨文《干攴數(shù)理表》與“黃金分割率”考釋（一）——“數(shù)學(xué)天文學(xué)”的概念（三）》

張?zhí)旃?/span>

一

殷商甲骨文（約公元前1300年—約公元前1000年）有“天干”、“地攴”、“干攴”等概念，還有《干攴表》，這是殷商文字字形中的相當(dāng)成熟且自成體系的數(shù)學(xué)天文學(xué)。長江三峽的秭歸新石器時代遺址的數(shù)學(xué)天文學(xué)（距今約7000年）是其源頭，它一降生就有比較完整的天體視運(yùn)動的坐標(biāo)體系、核心算法、基本數(shù)值，而黃金分割率則是運(yùn)算周年360度與周日24度及其內(nèi)插法與外插法的關(guān)鍵。

圖1

筆者已對殷商甲骨文中諸多字形的黃金分割率進(jìn)行了初步考釋，如“日”字、“月”字、“明”字、“文”字、“田”、“數(shù)”字、“丁”字、“度”字、“書”字、“筆”字、“版”字、“丁”字、“目”字、“正”字、“中”字、“士”字、“史”字、“事”字、“臣”字等，都與數(shù)學(xué)、天文學(xué)相關(guān)，【1】張?zhí)旃冻跽撘笊碳坠俏闹械?/span>“進(jìn)十?dāng)?shù)位制”——考釋“術(shù)”、“殳”、“攴”、“悤”<干支表>與楚簡<算表數(shù)理表>、羅素<數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論數(shù)理表>與<書寫筆順圖>之關(guān)系》，載于《書法研究》2021年第2期，第54—74頁；張?zhí)旃兑笊碳坠俏摹笆俊边\(yùn)算黃金分割率——殷商甲骨文中的數(shù)理邏輯初探》，載于《書畫藝術(shù)》2021年第1期，第30—37頁）又依據(jù)《甲骨文合集》（37986）收錄的一件完整的牛胛骨上契刻的簡冊形制（直行下行，橫列左行）的《干攴表》（圖1）【2】劉翔等編著《商周古文字讀本》，語文出版社，1989年版，第6頁），制作了一個《干攴數(shù)理表》（圖2），采用簡體楷書字形、配以印度—阿拉伯?dāng)?shù)字符號作翻譯性的表述，便于識讀與運(yùn)算，字理與數(shù)理仍然依據(jù)原字。

殷商甲骨文《〈干攴表〉數(shù)理表》

圖2

這個《干攴數(shù)理表》為直行六行，橫列十行，組合為一個直式長方形，計有60個小方格；所有方形的四個內(nèi)角之和均為360度，包括小方格。這就是說，運(yùn)算周天360度基數(shù)是常例，這一點是中國古代天文學(xué)最為普通的常識。

第六十個小方格為“癸亥·10:12”，黃金分割率的極簡算法是二分法的“分?jǐn)?shù)”，運(yùn)算干攴集合論函數(shù)：

A．10＋12＝22

B．22÷2÷2÷2÷2÷2＝0.6875

C．0.6875×0.9＝0.61875

D．0.61875－0.00075＝0.618   

這種天文學(xué)視運(yùn)動的黃金分割率0.618，與現(xiàn)代抽象數(shù)學(xué)的算法不同、性質(zhì)不同，它是什么意思？有什么功用？從秭歸遺址的數(shù)學(xué)天文學(xué)的源頭看，這個黃金分割率才能看得比較清楚。研究對象是太陽運(yùn)行、月球運(yùn)行、地球運(yùn)行之關(guān)系，研究方式是視運(yùn)動的推步法，是用小方格進(jìn)行動態(tài)運(yùn)算，運(yùn)算對象是干攴集合論函數(shù)，與天體的運(yùn)轉(zhuǎn)相對應(yīng)，表達(dá)式是“數(shù)形交合”，屬于天文學(xué)視運(yùn)動的平面幾何學(xué)。

這里先說明幾點要義；

（一）這個0.618，首先是指“旬”字。殷商“旬”字有的兩種形體，是指天文學(xué)視運(yùn)動的推步法路線圖：一種形體“”(《合集》16790，賓組）是表示運(yùn)算春分點太陽年；一種形體“”（《合集》 6834，賓組）是表示運(yùn)算冬至點回歸年。其上部斜畫交叉點為0,交叉點前的短線為0.618（或0.61875），是指十日一“旬”的平均一天之白天的長度，相當(dāng)于平均一日的晝夜長度之比值為1＝0.618:0.382。

數(shù)學(xué)家華羅庚的“優(yōu)選法”稱為0.618為“平面幾何學(xué)上黃金分割法”，“這是一個求函數(shù)最大值或最小值的問題”，還用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的來表示它的一種算法，運(yùn)算無理數(shù)，【3】華羅庚《優(yōu)選法評話及其補(bǔ)充》，國防科技出版社，1971年版，第28頁、第26頁）這是準(zhǔn)確而合理的，可與華夏先民的天文學(xué)中的古法進(jìn)行交換運(yùn)算。天地運(yùn)行的晝長夜短的之黃金分割比例，作為函數(shù)的最大值與最小值是理所當(dāng)然的事情。

（二）“旬”字涉及春分點、冬至點，運(yùn)算一“旬”即是勾連36個旬，即周天360度，四方形、小方格都涉及四個內(nèi)角之和的360度。

360度即是6個《干攴表》，或36個“旬（10日）”，或12個“月（3個旬）”，或東南西北四方、春夏秋冬四季，即二十四節(jié)氣；“旬”還牽連周日視運(yùn)動24時辰。也就是說，360度即是36個旬，把一天24小時與一年二十四節(jié)氣捆在一起，同時又是以360度為基數(shù)的內(nèi)插、外插的算法，這也就是“旬”字作為推步法路線圖的核心作用。

（三）運(yùn)算周年360度基數(shù)的外插法與內(nèi)插法。外插法是指360度以外的5點幾度；內(nèi)插法涉及運(yùn)算朔望月與閏月。運(yùn)算周日24度基數(shù)與周年360基數(shù)的交接，需要運(yùn)算數(shù)學(xué)的核心“數(shù)位制”，一是運(yùn)算分?jǐn)?shù)位、個數(shù)位這兩個數(shù)位的極數(shù)九滿一而進(jìn)十?dāng)?shù)位，二是“十進(jìn)制”與“六十進(jìn)制”的交換運(yùn)算。這些數(shù)位的問題非常重要，譬如說，天文學(xué)運(yùn)算必然會涉及分?jǐn)?shù)、或小數(shù)，所以單列一個數(shù)位“分?jǐn)?shù)位”?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)沒有這個“分?jǐn)?shù)位”概念，計算涉及到比0小的數(shù)，則稱作真分?jǐn)?shù)，還有假分?jǐn)?shù)等。這些問題需要專門探討。

（四）黃金分割率是指“度”概念本身。殷墟“度”字的一種形體“ ”（《戰(zhàn)后寧滬新獲甲骨集》1.234），從右手、從直角三角形；這個直角三角形的直角長邊與直角短邊，經(jīng)過切割下來測算，比值為0.618:0.382，與“旬”字表示的數(shù)值形同，意義一樣。

下文將會討論，這“度（ ）”字的直角三角形，是《干攴數(shù)理表》序數(shù)第三方格“丙寅·3:3”、第四方格“丁卯·4:4”、第五方格“戊辰·5:5”構(gòu)成的勾股定理，表達(dá)式是書版“丁（）”（《殷墟文字甲編》630），即是一個長方形，也就是《干攴數(shù)理表》中的六個“丁”字之形，經(jīng)過運(yùn)算合并為長寬之比值為0.618:0.382，切分這個長方形的對角線即成為這個直角三角形的“度（ ）”。

殷人天文學(xué)中的勾股定理，同時又是黃金分割率，這是數(shù)學(xué)史上最早的獨(dú)一無二的勾股定理。說明一下，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的勾股定理的定義中，中國古代的黃金分割率實際上是勾股定理的余弦上一個黃金分割點。

這個“度”概念本身，表示測量運(yùn)算的方法，又表示運(yùn)算數(shù)形交合的準(zhǔn)則，自己還有數(shù)值、數(shù)形，是運(yùn)算天文學(xué)視運(yùn)動的核心概念。《說文》釋“度”：“法制也?！倍巫ⅲ骸啊墩撜Z》曰：謹(jǐn)權(quán)量，審法度?！吨杏埂吩唬悍翘熳硬恢贫取！?/span>【4】段玉裁《說文解字注》，上海古籍出版社1988年影經(jīng)韻樓藏版，第116頁。這就是說，“度”是天文歷法的核心算法，才可以定性為“法制”、天子的“制度”。

圖3

從平面幾何學(xué)之形看，黃金分割率首先是：（1）運(yùn)算干支集合論函數(shù)三合與函數(shù)六，都有見于數(shù)形交合；（2）繼續(xù)運(yùn)算勾股定理，有正長方形之書版“丁”，與切分對角線的直角三角形之“度”。（4）表示天文學(xué)視運(yùn)動的算法，即推步法的“旬”字，這是一種及其復(fù)雜的幾何模型，具有拋物線、等高線的特征（圖3）【5】華羅庚《優(yōu)選法評話及其補(bǔ)充》第31—33頁。按：這個圖示是表示黃金分割率涉及的曲線函數(shù)、拋物線函數(shù)。按照優(yōu)選法“雙變數(shù)和等高線”的解釋，這三個原形應(yīng)該是與干十、攴十二、干攴二十二相關(guān)，并且在方形中運(yùn)算。這實際上是《墨經(jīng)》中的算法。

“旬”字的內(nèi)涵非常豐富，算法極簡而解說困難。通俗的說，《干攴數(shù)理表》中經(jīng)過運(yùn)算的6個小方格組合成一個直式長方形，這是黃金分割比例的載體；而切分其對角線，則為直角三角形之“度”。這個直式長方形上面書契著這推步法路線圖，二種字形表示的路線圖的指向，分別是春分點與冬至點，0.618表示路線開口處的短線的長度，可運(yùn)算周年視運(yùn)動的外插法。這個直式長方形作為序數(shù)六，在“旬”字曲線中心端點處，可以運(yùn)算朔望月、閏月與36個“旬”（360度）的關(guān)系，涉及內(nèi)插法與外插法。

（五）我們現(xiàn)在使用的“度”概念，作為科學(xué)的術(shù)語則來自西學(xué)。英文degree，法文degré，德文Grad，來源于拉丁文degradare，原是“步”、“級”的意思。【6】梁宗巨《世界數(shù)學(xué)史簡編》，遼林人民出版社，1980年版，第29頁）這種抽象性的“度”，應(yīng)用在數(shù)學(xué)中、天文學(xué)中都有各自的基本定義，與中國古代天文學(xué)的“度”字完全不同。

中國古代的天文學(xué)研究、數(shù)學(xué)研究，一直依據(jù)西式的思維方式與數(shù)學(xué)計算，包括引進(jìn)的這個“度”概念，對于中國的古“度”完全不知，認(rèn)知“旬”字是表示十日，但不知“旬”字還表示的推步法路線圖與黃金分割率。

所以，盡管百年來學(xué)術(shù)研究的成果豐碩，令世人舉目，但未見天文學(xué)的基本數(shù)值，或者說是一種見不到年、月、日、時的天文學(xué)。不斷有新石器時代的考古資料出土，天文學(xué)、數(shù)學(xué)上的釋讀非常困難，古今隔膜的固化嚴(yán)重。  

總之，“旬”字與36個“旬”（360度）掛鉤，又與1個黃金分割率掛鉤（1度，第37個旬）【7】董作賓、陳夢家、島邦男、許建雄、常玉芝等對于殷墟卜文中周祭制度的研究，初步形成的共識是有三十六旬和三十七旬兩種周期，并推論三十六旬與太陽年360天相關(guān)，增加到三十七旬，有的認(rèn)為是365天多，有的認(rèn)為在360日—370日中間，這已經(jīng)觸摸到中國古度的實質(zhì)，但沒有數(shù)學(xué)的理念與算法。其實，第37旬是運(yùn)算外插法，誠可謂最為關(guān)鍵的一次十進(jìn)制與六十進(jìn)制的交換運(yùn)算，唯獨(dú)這一“旬”的十日變?yōu)樯儆诹斩嘤谖迦罩當(dāng)?shù)，就是365天多至366天少之間。這個問題另文探討），牽連天文學(xué)的年、月、日、時的基本數(shù)值，內(nèi)涵極其豐富，它是數(shù)學(xué)天文學(xué)的命脈之所在。黃金分割率的算法是天文學(xué)中的“優(yōu)選法”。 再強(qiáng)調(diào)一下，數(shù)學(xué)天文學(xué)表達(dá)式與算法的方形、小方格均關(guān)聯(lián)360度（36個旬），而小方格是運(yùn)算的基本方式。

     現(xiàn)在所謂的“中國古度”，是漢代“周天度”，或“歲長天”，稱為“四分歷”，這個數(shù)值未見說明算法。【8】陳遵媯《中國天文學(xué)史》，上海人民出版社，2016年版，第146頁）這與新石器時代的真正古度有天壤之別。這個“°”是讓我們的研究者非常尷尬的一個數(shù)，

【9】〔英〕李約瑟《文明的滴定》認(rèn)為：“中國沒有把刻度環(huán)分成360°，而是根據(jù)一年的日數(shù)分成°。初看起來這似乎很笨拙，但實際上確有好處。商務(wù)印書館，2018年版，第67頁。此外，江曉原、紐衛(wèi)星《中國天學(xué)史》引述日本飯島忠夫1925年發(fā)表的《支那古代史論》認(rèn)為，中國四分歷取回歸年長度為日，是源自古希臘歐多克斯。上海人民出版社，2005年版，第14頁）關(guān)鍵是丟失了自己的360度與度本身，致使°前后失據(jù)，沒有根基。

（二）用黃金分割率運(yùn)算周年視運(yùn)動的春分點太陽年的長度，極簡的算法是：

A．10＋12＝22

B．22÷2÷2÷2÷2÷2＝0.6875

C．0.6875×0.9＝0.61875

D．0.61875－0.5＝0.11875

e.0.118×36＝4.275

F.4.275＋360＝364.275

G.364.275＋1＝365.275

這個春分點太陽年長度365.275天，是恒定的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)值，不受視運(yùn)動推步法的具體區(qū)域、視域、氣候、物候等特點的影響。也就是說，數(shù)學(xué)天文學(xué)一降生就有這五個數(shù)值：一個是干支集合論三合函數(shù)，一個是周年視運(yùn)動基數(shù)360度，一個是春分點太陽年長度365.275天，一個是“旬”字的黃金分割率0.618；一個是周日視運(yùn)動的24時辰。冬至點回歸年則不同，必須按照推步法的具體觀測點的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行交換運(yùn)算。數(shù)學(xué)天文學(xué)的理論模型，歷法天文學(xué)是數(shù)學(xué)天文學(xué)的具體應(yīng)用。

殷商“癸”字有三種形體：“”（《鐵云藏龜》112.3）形表示天體運(yùn)轉(zhuǎn)的坐標(biāo)，東西向?qū)蔷€指向春分點與秋分點；東北向?qū)蔷€指向夏至點與冬至點；“”（《殷契佚存》545）形也表示這種坐標(biāo)，但增加了天體周轉(zhuǎn)以外的短線，有運(yùn)算外插法的意思。 晚商《 癸?卣》銘文“癸”（，《集成》4839）形表示天體運(yùn)轉(zhuǎn)的南北極，兩極均有天體周轉(zhuǎn)以外的短線，也有外插法的意思。這與“旬”字所指是對應(yīng)的，顯示出周天360度與外插法的算法。

西方天文學(xué)史不同，起源很早而計算較晚，因為其數(shù)學(xué)與天文學(xué)分作兩個學(xué)科，例如，古巴比倫的可以稱作是“計算天文學(xué)”的起點，大約在公元前500年，真正使用鋸齒形函數(shù)計算的天文學(xué)是始于公元前132年，而數(shù)學(xué)在公元前2000左右就已經(jīng)有了成熟的十進(jìn)制與六十進(jìn)制。簡單的說，數(shù)學(xué)與計算天文學(xué)相距1500年。這與西方科學(xué)起源的多頭線索相關(guān)。【10】〔美〕戴維·林德伯格《西方科學(xué)的起源——公元前1450年之前宗教、哲學(xué)、體制背景下的歐洲科學(xué)傳統(tǒng)》，張卜天譯，商務(wù)印書館，2019年版，第20—21頁、第24—25頁。按：巴比倫占卜天象與天文學(xué)混合在一起，涉及諸神與地界事物的關(guān)系非常廣泛，在計算天文學(xué)之前已有數(shù)個世紀(jì)，甚至?xí)r間更長。

華夏先民的想法很實在，沒有數(shù)值與算法，就談不上有天文學(xué)。年、月、日、時都不知道，日出而作、日落而息干什么？【11】江曉原等《中國天學(xué)史》依據(jù)殷墟卜辭的天學(xué)研究成果，參照中國天文學(xué)史整理研究小組編著《中國天文學(xué)史》，歸納出殷代天文學(xué)的八個要點：（1）陰陽合歷。（2）年有平閏、月有大小。（3）年終置潤。（4）尚無四季的劃分，只有春、秋。（5）可能已有測定分、至的知識。（6）歲首已基本固定。（7）以新月為一月之始。（8）年、月之始及閏月的設(shè)置都是根據(jù)實際觀測決定的，尚未能做到預(yù)先推算。上海人民出版社，2005年版，第11頁。按：這種關(guān)于學(xué)術(shù)研究進(jìn)展的歸納比較客觀、準(zhǔn)確、公允，相當(dāng)于認(rèn)為殷商時代270余年的天文學(xué)，沒有具體數(shù)值與算法。馮時《百年來甲骨文天文歷法研究》認(rèn)為：“沒有古人對時間的掌握，便不會有農(nóng)業(yè)文明的出現(xiàn)”，又將中國古代天文學(xué)的起始定于河南舞陽賈湖和安徽蚌埠雙墩的新石器時代遺存，這種理念是合理的，然而在百年來殷商甲骨文天文歷法研究的總結(jié)中，未見到殷人的年、月、日、時的一個數(shù)值。中國社會科學(xué)出版社，2011年版，第344—351頁。按；百年來研究者非常關(guān)注天文歷法的數(shù)值問題，也孜孜以求，但毫無殷商“數(shù)學(xué)”的理念與知識，天文學(xué)的數(shù)值就沒有著落）曲安京《中國數(shù)理天文學(xué)》認(rèn)為，春秋以前“還沒有科學(xué)的歷法出現(xiàn)”，“由于中國傳統(tǒng)數(shù)理天文學(xué)采用的主要是數(shù)值方法，與西方傳統(tǒng)的幾何模型很不相同，在大多數(shù)情形下，從形式上根本看不到兩者的任何相似之處?！?/span>【12】科學(xué)出版社，2008年版，第24—25頁、第22頁）這種論斷直接了當(dāng)，就是用西式的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)看，中國傳統(tǒng)是“數(shù)值方法”，西方傳統(tǒng)是幾何模型，這代表著現(xiàn)在學(xué)界的主流看法，數(shù)學(xué)思維是合理的，但中國遠(yuǎn)古的農(nóng)業(yè)文明的講述則遇到麻煩，什么時間春種秋收呢？

還有一個硬核的數(shù)值可能被忽略了，古希臘天文學(xué)的地心說占據(jù)西方1300多年，缺失地球繞自轉(zhuǎn)軸自轉(zhuǎn)的周日24度（時辰）的數(shù)值與算法，用這種西式的算法來對待中國古代天文學(xué)的數(shù)值，可能就是一片空白。

中國古代的數(shù)學(xué)天文學(xué)，首先是“幾何模型”，不只是數(shù)學(xué)工具，而是天文學(xué)本身，同時也是“數(shù)值方法”，有完整的年、月、日、時的基本數(shù)值，這可以與現(xiàn)代科學(xué)的數(shù)學(xué)方法對接、交換。為什么研究者視而不見呢？意大利畫家達(dá)·芬奇的黃金分割比例的形像，我們耳熟能詳；中國殷商甲骨文的“旬”字的黃金分割率之螺旋線，我們則看不懂？這首先是科學(xué)史研究的一個“可公度性”問題，這兩種數(shù)學(xué)思維的“度”應(yīng)該有“公度”。中國古代的天文學(xué)研究、數(shù)學(xué)研究，說不說天體運(yùn)轉(zhuǎn)的“度”、數(shù)量計算的“度”？是說引進(jìn)的西式的“度”，或者中國古法的“度”，亦或是對接、交換的度？這個問題根本無法繞開走。（待續(xù)）

 2022年1月12日于武昌